妻がパート先の健康保険の被保険者となりました。収入は月平均9万円で認定基準内なのでこのまま日立健保（家族）の保険証を持っていて使用しても良いですか？

被扶養者からはずす手続きと保険証の返却が必要です。
被扶養者がお勤め先の健康保険の被保険者となった場合、被保険者の資格が優先され、別の健康保険に重複して加入することはできません。
日立健保脱退の手続きが必要となりますので「被扶養者異動届（減）（T-012）」をご提出ください。